当我妻子和平呐喊的声音越来越远之后，我请这个陌生人坐下，靠近他，以便能更近距离地观察他。他的外表让我惊呆了。虽然他的表面没有一丝角度的痕迹，但他体表的亮度和大小每一刻都在不停的变化，我从没见过这样的图形。突然一瞬间我脑海里闪过一个念头：有没有可能他是一个小偷或者杀人犯，一个凶恶的等腰三角形，装出一个圆的声音与我说话。他不知道用什么方法进到我的屋子里来，没准现在正用他尖锐的角对准我，随时准备给我来那么一下。

在客厅里，由于这个季节很干燥，雾气已经消失，这让我更加难以相信眼前的一切，尤其是我站在离他这么近的距离。我内心充满了恐惧，我不顾一切唐突地冲向他，要去触摸他。“先生，请允许我……”我的妻子是对的，他的身上一个角也没有，非常光滑和均匀——终其一生我也没有见过比这再完美的圆了。我从他的眼睛开始，围着他绕了一圈，他丝毫没有动弹，浑身上下都是那样完美的圆，毫无疑问。然后我俩开始了对话，我会尽全力凭借记忆记录在后面，只是必须要省略掉我滔滔不绝的道歉——因为当时我沉浸在羞愧当中。我，一个小小的正方形，应当为鲁莽地去触摸一个完美的圆而自责。陌生人由于我一直的触摸已经开始感到不耐烦了，首先向我发问。

陌生人：“现在你总算触摸完了吧？难道你还不打算向我介绍你自己吗？”

我：“尊敬的阁下，请原谅我的笨拙，但这并不是由于我轻视礼数，单纯是因为您的突然到访给我带来的惊讶和紧张。我请求您，请不要向别人透露我的失态，特别是我的妻子。在您和我继续交谈之前，您可否屈尊满足一下我这个一家之主的好奇之心，让他知道他的尊贵访客来自什么地方？”

陌生人：“从空间中，从空间中，阁下。还能是哪儿呢？”

我：“请原谅我，阁下。可您难道不是已经在空间里了吗？您和在下此时此刻就在空间之中啊。”

陌生人：“呵！你知道什么是空间？你能定义它吗？”

我：“空间就是高度和宽度的无限延伸，阁下。”

陌生人：“你完全不知道空间是什么。你以为空间只有两个维度，但我到这里来就是为了告诉你，空间有三个维度：高度，宽度和长度。”

我：“阁下真爱开玩笑。我们有时也会说长度和高度，或宽度和厚度，但那四个名字都只表示两个维度。”

陌生人：“我不是指两个维度的不同名字，而是三个维度。三个！”

我：“我不知道有第三个维度，阁下您可以向我展示或者解释一下这第三个维度是在哪个方向吗？”

陌生人：“我正是从那个方向来的。从上面到下面。”

我：“阁下的意思似乎是南面和北面？”

陌生人：“我不是那种意思。我指的是从你的眼睛看不到的方向。因为你的侧面并没有眼睛。”

我：“阁下，您仔细看一下就会发现，我侧边的交界处都有发光点。”

陌生人：“是的，我看到了。但你的眼睛必须长在侧面，而不是边长上，才能看到在空间中发生的事情。确切的说，是我们空间中所说的侧面，在你们来看可能是内部。”

我：“在我身体内部的眼睛？甚至在我的胃里？阁下您可真会开玩笑！”

陌生人：“我没有开玩笑。我告诉过你，我来自空间。鉴于你还不明白空间是什么，我还是这样说吧。我来自一个三维的国度，你所谓的空间不过是我向下俯视看到的一个平面。从那个位置看来，你们所谓的立方体（就是你们所谓的四条边围起来的图形）、房子、教堂、保险柜，甚至你们的身体和胃，在我看来一览无余。”

我：“随便说说总是很容易的，阁下。”

陌生人：“你想说这种事情证明起来不那么简单，而我正打算这么做。当我降落到这里，我看见你的四个五边形儿子，每个都在他们自己的房间里。我还看见你的两个六边形孙子，你最小的那个孙子和你呆了一会儿，然后回到他的房间里，只剩下你和你的妻子在一起。我还看见你的三个等腰三角形仆人，晚饭时在厨房，小侍童在洗碗槽哪里。然后我就来了，你以为我是怎么来的？”

我：“我觉得是通过屋顶。”

陌生人：“并不是。你应该记得很清楚你最近刚修过屋顶。屋顶上没有洞，甚至连一个女人都钻不进来。我告诉过你我从空间中来，我都告诉你房间里的事情和你家人的情况，你还不相信我吗？”

我：“阁下，您有那么多渠道获得信息，总有办法从在下的邻居口中得到这些情报的。”

陌生人：“（自言自语）我该怎么办？坚持，坚持。我想到一个办法：当你看到一条直线的时候，比如你的妻子，你认为她有几维？”

我：“阁下您似乎把我看成了一个不懂数学的莽夫，以为我会把女人看作一根只有一维的直线。不，不，阁下，我们四边形是受过教育的。我们和您一样清楚，有的时候被称作线段的女人，如果用科学的眼光去看她们，其实是非常非常纤细的多边形：所以她们是两维的，和我们一样拥有宽度和长度（或说厚度）。”

陌生人：“那么正是由于她们可以被看见，所以她们实际上拥有另一个维度。”

我：“阁下，我刚才已经说了，女人既有长度也有宽度。我们可以看见她们的长度，也可以推断出她们有宽度，尽管宽度十分小，但是可以测量出来的。”

陌生人：“你没明白。我的意思是你看见了一个女人，你除了看见她的长度，推断出她有宽度之外，还应该‘看见’她的高度，尽管这个维度在你们的国家里几乎是无穷小。如果一条直线仅仅只有长度而没有高度的话，它就不可能占据一定的空间，也就不可能被看见。你确定你明白这一点了吗？”

我：“我必须承认，最后这一点我确实并不明白。在平面国中，我们看见一条直线，实际上我们看见的是长度和亮度。如果亮光消失了，这条直线就消失了，也就是像您说的那样消失在空间当中。我能理解阁下您所说的另一个维度，也就是高度，实际上是我们所说的亮度吗？”

陌生人：“不，完全不是。高度是一个像长度一样的维度，只不过你们很难察觉到它的存在，因为确实非常小。”

我：“阁下，您的说法很容易验证。您说有第三个维度叫做高度，维度意味着有方向以及可以被测量，那么请您测量一下我的高度，或者仅仅给我指一下我的高度是沿什么方向的，我就会完全相信您。否则请原谅，我不能接受您的解释。”

陌生人：“（自言自语）两样我都做不到，到底我该怎样说服他？一个简单的陈述之后只要能让他亲眼看一看就足够了。——现在请听我说：你生活在一个平面之内，你们所生活的平面国是一个巨大的平面，我们管它叫流体。你和你们居民在这个平面上移动，不会上升也不会下沉。

“我并不是一个平面图形，而是立体的。你认为我是一个圆，但其实我并不是。我是无穷多个直径从0到13英寸的圆，一个圆叠在另一个上面。当我切入你们的平面的时候，我的横截面就是一个圆。一个球——这是我在我们国家的名称——如果想把自己展示给平面国的居民，那就必须是以一个圆的样子。

“你还记得吗？我可以看见所有事情，所以我能看见你脑中留下的直线国的幻影。你还记得当你进入直线国的时候，你在直线国王的面前是一条直线，而不是一个正方形。因为直线国没有足够的维度容得下你的全部身体，你只能以截线的形式出现在直线国里。正是由于同样的原因，你们二维国家也容不下三维的我，你只能看见我的横截面，也就是一个圆。

“你的亮度变小了，你在怀疑。现在请听我的解释。确实，你只能看见我的一个横截面，因为你不能把你的眼睛从你们的平面升起。但在我从平面上升起的时候你起码能看见我的截面在变小。看着，我正在上升，你眼中的我会越来越小，直到收缩成一个点，最终消失。”

图8

我并没有看见“上升”的过程，但他确实在变小，最终消失。我眨了几下眼睛，确认是否在做梦。这不是梦。从未知的深处传来空洞的声音——仿佛就在我的胸中——“我全部离开了吗？你现在还不肯相信？好，我现在将会一点点回到你的平面，然后你将会看到我变得越来越大。”

每一个活在空间中的读者都会很轻松的明白我那神秘的访客说的是实话，是明显的事实。尽管我精通平面国里的数学，但对我来说明白这一点也不是一件容易的事情。一个粗略的示意图可以很明白地向空间中的孩童解释，一个球像图中那样上升，从我或者是其他平面国居民的角度来看，都是一个圆。一开始这个圆是最大的，然后变小，最后逐渐变成一个点。尽管我能够看见这一事实，但对我来说其原因仍然一如既往地隐藏在黑暗之中。我所能理解的就是：这个访客，这个圆，把他自己变得越来越小直到消失，现在他又重新出现，而且正在迅速的变大。

等他回到了原有的大小，他深深地叹了一口气。他认为我陷入了沉默都是因为我完全没有明白他。可实际上我觉得他根本不是一个圆，而是个聪明无比的骗子，或者那些老太婆们讲的故事是真的，确实存在巫师或者魔法师一类的人。

长长的停顿之后他对自己咕哝道：“如果不利用行动的话，我只剩一种办法了——我要试试类比。”然后又是一阵长长的停顿。终于他决定继续我们的谈话。

球：“告诉我，数学家先生，一个点向北移动，留下了一道发光的轨迹，你会叫这条轨迹什么？”

我：“一条线段。”

球：“线段有几个端点？”

我：“两个。”

球：“现在想象一下这条南北向的线段平行的向东向西移动，这条线段上的每一个点都留下了一条线段的轨迹。你会怎么称呼这样组成的一个图形？我们假设它移动的距离和它的长度一样。这叫什么？”

我：“正方形。”

球：“这个正方形有几个边，几个角？”

我：“四条边，四个角。”

球：“现在稍微扩展一下你的思维，想象一个正方形在平面内，平行于他自己向上移动。”

我：“什么？向北？”

球：“不，不是向北，向上！完全离开你们的平面。如果是向北的话，南边的点会穿过北边点留下的轨迹，而我说的不是这个意思。我说的是你的每一个点——假如你是这个正方形的话——你的每一个点，你的内部，都向上穿过空间，这样就没有点会穿过已经存在的轨迹了。每一个点都留下了一条它自己划过的直线段。这是个类比，我想这对你来说已经够清楚了。”

我强忍住急躁——内心有种强烈的冲动想要向他扑过去，把他甩到空间去，或者踢出平面国，这样我就能摆脱他了——我回答道：

“那么这个你老在说的‘向上’运动形成的图形到底有什么性质呢？我想用平面国的语言能解释清楚吧。”

球：“那当然，这很清楚很简单，实质上就是类比。顺便提一句，你不能继续称它为一个图形，而应该叫它立方体。我会用类比的方法向你讲述。

“我们从一个点开始，它只有1个端点。点生成线段，有2个端点。线段生成正方形，有4个端点。然后你自己可以得出答案：1，2，4，很明显是一个几何级数，下一个数是什么？”

我：“8。”

球：“完全正确。这个正方形生成一个你现在还不知道名字的，我们称其为正方体的东西，它有8个端点。现在你明白了？”

我：“这东西有侧边，角，或者你说的端点吗？”

球：“那当然，都是根据类比得出的。但是并不是你说的那种侧边，而是我们说的侧边，或者说侧面。你应该叫它立方体。”

我：“那这个由我‘向上’移动形成的东西，你们叫他立方体，到底有几条侧面呢？”

球：“你问我？你可是个数学家！任何一个物体的侧边都会比那个物体本身少一维。因此，点没有维度，就没有侧面。一条线有两个侧面（零维的点被称作一维的线的侧面）。正方形有四个侧面。0，2，4，这个级数你认为是什么？”

我：“算术级数。”

球：“那下一个数是什么？”

我：“6。”

球：“完全正确。然后你就可以回答你自己的问题了。由你生成的正方体会被6个侧面包围起来，也就是说，你有六个内部。现在你完全看清楚了吧？”

“怪物！”我大吼道，“骗子！巫师！异想天开！魔鬼！不管你是什么，我再也不能忍受你的嘲讽了！不是你死就是我亡！”我边吼边朝他冲去。